
1931 un 2 de Enero de ese año , con tan solo 12 años de edad, inicia su exitosa carrera grabando su primer disco como músico, con el maestro Félix Pérez Cardozo .
22 años fueron los que dirigió la orquesta que acompañaba al mítico cantautor paraguayo Samuel Aguayo.

1944 compone una melodía inspirada en su hija mayor , la que tiempo después con versos de
Osvaldo Sosa Cordero se transformaría en esta obra fundamental conocida por todos como Alma Guaraní . A todo esto la primera obra compuesta por el maestro se llamó Picuypé (en castellano, Torcacita) y fue en 1935.

326 son las composiciones que Esquivel posee bajo su autoría contando registradas é inéditas . Hay por supuesto obras solo instrumentales y también con letra , las que comparte con otros autores del género.
1964 fue el año en que se incorpora a la agrupación su hijo Juan Carlos como contrabajista y más adelante en 1975 Chacho como guitarrista, por lo que la presencia familiar en torno del Maestro, también estuvo presente .
1968 graba " Alma Guaraní " , su disco "escuela" en el cual aprovechando su momento de plenitud como intérprete , desarrolla mediante un repertorio de temas clásicos del litoral. El solo con 5 guitarras , 12 temas solo instrumentales , en lo que fue sin duda uno de los mejores discos de su carrera y de la historia del género .
1983 se incorpora la última de las cantantes solistas que tuvo Esquivel en sus agrupaciones, hablamos de Iris Mabel, quién formó parte del Conjunto Alma Guaraní hasta su desaparición.
1987 año en que la Asociación de Bandoneonístas Argentinos A.B.A, le entrega el galardón más preciado por él que es el Bandoneón de Oro , por supuesto otorgado por sus colegas del "fuelle".
4000 o mas se estiman fueron las presentaciones efectuadas por Don Damasio en 74 años de trayectoria artística en Argentina y en países como Chile, Paraguay, Uruguay y Brasil.

1997 es el año en que la Cámara de Diputados de la Nación, lo distingue con una plaqueta ante un auditorio repleto , como uno de los referentes de la música argentina de todos los tiempos .
A la fecha, del año 2012 se han editado 10 discos (3 inéditos y 7 reediciones) y esta en plena gestación este año un libro con detalles completos de su carrera y testimonial en el que interviene su esposa y compañera Doña Elsa de 81 años, en el guión del mismo.